Una identidad es sólo -y quizá- sintácticamente una ecuación
viernes, 3 de abril de 2009 by Eleutheria Lekona
Hace como un mes -allá en la maestría- se suscitó una polémica entre todos los miembros del grupo debido a que, a raíz de un ciclo de brevísimas exposiciones que tuvimos en una de las asignaturas, se produjo un debate en torno a dos conceptos que aparecen concomitantemente en Matemáticas.
¿En qué consistió la polémica?
Consistió en que algunos de nosotros sostuvimos que una identidad no es una ecuación y, en contrapartida, la otra parte del grupo sostuvo -categóricamente y sin empachos- que una identidad es una ecuación con infinitas soluciones.
A mí la verdad me causó bastante malestar esta última aseveración -con la que no estoy en lo absoluto de acuerdo-.
El punto es que -después- uno de mis compañeros y yo tuvimos una breve charla por e-mail tratando de dirimir el asunto (debo ser honesta y decir que este compañero sostiene una opinión igual a la mía, de modo que la charla fue más bien como para "curarnos en salud").
En fin, que me permito pegar aquí el correo que le mandé a mi compañero de clase, en donde expongo las razones que me llevan a concluir que una identidad no es una ecuación, sino sólo -y quizá- sintácticamente.
Antes de pasar al textillo -aclaro-: no inserto ésto aquí con el afán de causar más debate, sino en el ánimo de que esto -quizá- pueda resultar de utilidad a alguien.
El e-mail:
Ante todo, gracias por el envío. He estado pensando en torno al asunto desde ayer; mi conclusión fue: Nuestros compañeros no dieron nunca un sólo argumento válido que categóricamente demuestra que una identidad es una ecuación, pero -ojo- nosotros tampoco dimos un argumento sólido que demuestre lo contrario (que una identidad no es una ecuación). De modo que -pienso- ésto está aún por dirimirse. Y la verdad es que como a mí sí me interesa tener bien claro el asunto (yo creo que a todos nos interesa tenerlo bien claro, de eso estoy segura), pues he estado también investigando, colige y colige y he llegado a una especie de conclusión que aquí te comparto. Pero, antes de ello, te hago la pequeña siguiente aclaración:
Ciertamente, cuando "argumenté" cometí el "pequeño" error de referirme a una variable como a una incógnita. Sin embargo y ya pensándolo, llegué a la conclusión de que en el limitado ámbito de las ecuaciones, las variables se vuelven incógnitas o, dicho de otro modo, las incógnitas son, en realidad, también variables -ya sé que no estarás de acuerdo en ésto que acabo de afirmar.
AHORA SÍ, EL ASUNTO
Una identidad en Matemáticas -dice la Wikipedia- "es la igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica numéricamente para cualquier valor de alguna variable de las tantas que intervienen". Planteándolo de esa manera, surge la pregunta, ¿la variable sobre la que gira la identidad es una incógnita, es una cantidad desconocida como las que se presentan en las ecuaciones? Porque si dicha variable es una incógnita (algo que desconozco y que, por tanto, deseo establecer qué o cuánto vale), entonces la identidad sí es una ecuación. Pero si no es una incógnita, entonces no es una ecuación. El quid, entoces, se reduce a demostrar que la variable sobre la que descasa una identidad, NO ES UNA INCÓGNITA, ¿cómo lo demuestro? (Líneas más abajo explico por qué esto último que acabo de decir -que si la cantidad que aparece en la identidad es una incógnita, entonces la identidad es una ecuación- es un argumento falaz; las últimas cincos líneas escritas son argumentos no válidos. En realidad, se puede aceptar que la variable que aparece en la identidad es también una incógnita, pero sería incorrecto inferir que entonces sí es una ecuación). Apelemos, de nuevo, a nuestra siempre diligente wikipedia. Dice:
"En matemáticas, una incógnita es, esencialmente, algo que desconocemos. Particularmente en álgebra, una "incógnita", es una variable cuyo valor no conocemos a prioridad, y cuyo valor va a ser eventualmente determinado; la forma de fijar o encontrar esa "incognita" es una ecuación..."
Bien, tenemos entonces que una incógnita es una variable cuyo valor no conocemos a priori, cuyo valor NO CONOCEMOS DE ANTEMANO. Así, las ecuaciones, se distinguen justamente por ser igualdades que relacionan expresiones algebraicas en donde intervienen variables cuyo valor, de antemano, no sabemos cuál es. De hecho, las ecuaciones se plantean en forma de igualdad para poder determinar el valor de la incógnita, surgen de la necesidad de hallar un determinado valor. Las identidades, en cambio, no surgen de la necesidad de conocer el valor de las variables que allí intervienen (esto no quiere decir que, necesariamente, no nos interese también conocer el valor de las variables; pero este interés sólo surgirá ante un contexto concreto. Por ejemplo, yo sé que la suma de los cuadrados del seno y el coseno es idénticamente 1, es decir, es siempre igual a 1; ¿qué cuánto valen dichos senos y cosenos? pues, no lo sé, depende de mi problema; depende -quizá, no lo sé- de las longitudes de mis catetos). Las identidades son, más bien, el resultado de una certeza ¿cuál? que sea cual sea el valor de mis variables la igualdad siempre se va a satisfacer (ésto, por supuesto, tiene su ámbito de verdad).
Una ecuación es la expresión a priori de una cantidad que varía y que desconozco (incógnita).
Una identidad es la certeza a posteriori sobre algún tipo de comportamiento de una cantidad que allí interviene (y que también varía). Puede que yo sepa o que yo no sepa el valor de la variable que interviene allí, puede que dicho valor sea o no sea una incógnita. En todo caso, el objetivo de plantear mi identidad no es determinar el valor de la variable que allí interviene, el objetivo es sólo dejar asentado de una vez y para siempre que, sea cual sea el valor de mi variable, siempre se va a satisfacer la igualdad que queda expresada en dicha identidad, En este sentido -pienso yo, tú corrígeme- las identidades suelen dan lugar a teoremas.
Mi conclusión es, entonces, que el lenguaje algebraico no es sólo símbolo y significado, sino que también entraña alguna semántica (significados e interpretaciones de los signos lingüísticos).
Es muy claro, en términos de lenguaje (el algebraico), una identidad parece también una ecuación, tiene toda la estructura, toda la sintaxis que tiene una ecuación; sin embargo, NO ES UNA ECUACIÓN, porque sencillamente no ha sido formulada con miras a determinar el valor de la (o las) variables que allí intervienen; es otra su utilidad.
Pues bien, ¿cómo hacemos ahora para convencer a nuestros compañeros de que una identidad no es una ecuación? A mí me será difícil, soy la fulanita insegura que se tarda 10 minutos en contestar las preguntas del Dr. B. Schlatter (a veces las sé, y a veces sabiendo, dudo de lo que sé y prefiero volver a pensar antes de responder), de modo que ¿qué hacemos? ¿cómo les explicamos que una identidad no es una ecuación? o, dicho de otro modo, que sintácticamente lo es, pero que -en realidad- las identidades no han sido planteadas para resolverse, sino para tener un punto de apoyo útil. Las identidades son ciertas relaciones que son siempre ciertas entre ciertos objetos, no importando cómo son dichos objetos. LAS IDENTIDADES NO SON ECUACIONES, SÓLO SINTÁCTICAMENTE...
Desde este punto de vista, un objeto se define sí, con un lenguaje, pero también queda definido por su utilidad. Particularmente, cuando pienso en una ecuación, pienso en una expresión algebraica cuya utilidad radica en la posibilidad de determinar un valor desconocido llamado incógnita; desde luego, dicha expresión algebraica y la(s) incógnita(s) que allí aparece(n) sólo pueden hacerlo -dado mi objetivo- a través de una relación de igualdad.
Un saludo, Eleutheria Lekona
Podemos suponer una identidad la cual se representa en una abscisa. De acuerdo a la incógnita es que entonces consideramos despejar las variables. La ecuación sigue siendo una ecuación.